LOGIKA ORDE PERTAMA (FOL)
Pemisalan 1:
Semua gajah punya belalai. Bona seekor gajah. Dengan Demikian, Bona punyabelalai
Tanpa perlu dibuktikanvaliditasnya, argument tersebut valid karena Conclusi mengikutiPremis-premisnya.
Pemisalan2:
Semua siswa pasti pandai. Adi seorang siswa. Dengan demikian, Adi pastipandai.
Secara nalar bisadilihat bahwa argument tersebut mempunyai validitas yang kuat. Tapi ketikadibuktikan dengan Logika Proposional, argument tersebut tidak bisadiselesaikan. Dibuktikan dengan logika proposional:
p : Semua mahasiswa pasti pandai.(Premis 1)
q : Kinoy seorang mahasiswa.(Premis 2)
r : Dengan demikian, Kinoy pastipandai. (Conclusi)
Dibuat dalam formuladengan operator AND menjadi . Formula tersebut tidak ada dalam hukum-hukum logikaproposisi yang dapat digunakan untuk mendukung validitas argument tersebut,karena tidak ada yang bisa digunakan untuk menghubungkan ketiga pernyataandiatas. Dan tidak mungkin juga suatu kesimpulan yang berbeda dihasilkan daripremis yang berbeda.
Pemisalan3:
Setiap manusia pasti mati. Karena Sayuti adalah manusia, maka dia pastimati.
Secara intuisi kalimattersebut bernilai Benar. Berdasarkan logika proposisi kalimat tersebut dapat disimbolkan sebagai:
p : Setiap manusia pasti mati
q : Sayuti adalah manusia
r : Sayuti pasti mati
Berdasarkan kerangka berfikir Logika Proposisi bukanlah konsekuensi Logis dari pdan q. Pernyataan ‘Setiap manusia pasti mati’ mengandungpernyataan Himpunan, yaitu Himpunan ‘manusia’, dimana individu yang merupakanbagian dari himpunan manusia jumlahnya tidak terhingga. Sedangkan pernyataan ‘Sayuti adalah manusia’ secara implisitmenyatakan anggota dari himpunan ‘manusia’/ universal of discourse.
Struktur sepertidiatas tidak dikenali oleh Logika Proposisi, karena apabila ingin membuktikankebenaran dari pernyataan ‘Setiap manusiapasti masti’ maka harus dicari nilai kebenaran dari seluruh elemen himpunanmanusia yang jumlahnya tak terhingga. Ini tidak mungkin dilakukan.
Untuk mengatasipermasalahan diatas diperlukan kerangka berfikir lain selain Logika Proposisiyaitu Logika First-Order (Kalkulus Predikat). Maka dapat didefinisikan bahwa LogikaFirs-Order adalah perluasan dari konsep Logika Proposisi untuk mengatasipermasalahan yang tidak dapat dipecahkan melalui kerangka berfikir LogikaProposisi dengan penambahan 3 komponen logika yaitu: Term (suku), Predicate,dan Quantifier.
Dasar Logika First-Order
Logika First-Orderdigunakan untuk merepresentasikan hal-hal yang tidak dapat direpresentasikan menggunakan LogikaProposisi. Operator-operator yang digunakan pada Logika First-Order adalah
SIMBOL
ARTI
BENTUK
Implies / Maka / Implikasi
jika … maka …
Not / Tidak / Negasi
tidak …
And / Dan / Konjungsi
… dan …
Or / Atau / Disjungsi
… atau …
Universal Quantifier
Untuk setiap / seluruh
Existensial Quantifier
Terdapat / ada
x
Term
-
Term / Suku
Term adalah parametersuatu fungsi bisa berupa konstanta, variabel, dan nilai suatu fungsi. Bentukterm adalah:
P (x).
Dimana P adalahPredikat (ditulis dengan huruf besar) dan x adalah variabel (ditulisdengan huruf kecil). P(x) dapat disebut sebagai nilai darifungsi proposisi P pada x. Ketika nilai variabel x telah ditetapkan maka barulah P(x)memiliki nilai kebenaran.
UniversalQuantifier
Definisi: Jika Asuatu ekspresi logika dan x adalah variable, maka jika ingin menentukanbahwa A adalah bernilai benar untuk semua nilai yang dimungkinkan untuk x,maka akan ditulis. Disini disebut kuantoruniversal, dengan A adalah scope dari kuantor tersebut. Variabel xdisebut terikat (bound) dengan kuantor.
Simbol UniversalQuantifier menggantikan kata ‘untuksemua’, ‘untuk seluruh’.Dan digunakan pada pembentukan formula dengan bentuk:
(x) P(x)
(x) P(x) bernilai benar apabila predikat P(x)bernilai benar. Formula tersebut dapat dibaca sebagai ‘Seluruh x untuk P(x)’ atau ‘Setiap x untuk P(x)’
Contoh:
“Semua Gajah mempunyai belalai”Jika G adalah gajahdan B adalah belalai maka ditulis dalam kuantor universal menjadi , dibaca “Jika x adalah Gajah maka, x mempunyai belalai”.Belum bisa dibuktikan secara predikat karena jumlah gajah bisa banyak bisa sajacuma satu, maka diperluas menjadi , dibaca “Untuk semua x, jika x seekor gajah, maka xmempunyai belalai”.
“Semua mahasiswa harus rajin belajar”Langkah1: Cari lingkupatau scope dari kuantor universal, pada argument diatas menjadi “Jika x adalahmahasiswa, maka x harus rajin belajar” ditulis menjadi .
Langkah2: Beri kuantoruniversal didepannya, dari hasil yang didapat pada langkah pertama menjadi
Langkah3: Ubah menjadisuatu fungsi, menjadi
ExistentialQuantifier
Definisi: Jika Asuatu ekspresi logika dan x adalah variable, maka jika ingin menentukanbahwa A adalah bernilai benar untuk sekurang-kurangnya satu dari x,maka akan ditulis . Disini disebut kuantoreksistensial, dengan A adalah scope dari kuantor tersebut. Variabel xdisebut terikat (bound) dengan kuantor.
Simbol ExistentialQuantifier menggantikan kata ‘ada’, ‘beberapa’, ‘tidaksemua’, ‘terdapat’.Dan digunakan pada pembentukan formula dengan bentuk:
(x) P(x)
(x) P(x) bernilai benar apabila ada x yang menyebabkan P(x)bernilai benar. Formula tersebut dapat dibaca sebagai ‘Ada x untuk P(x)’
Contoh:
“Ada bilangan prima yang genap”Jika P adalah bilangan‘prima’ dan G adalah ‘genap’, argumen tersebut dapat dibaca “Ada x, yang xadalah bilangan prima dan x adalah genap”, sehingga disimbolkan menjadi .
“Ada pelajar memperoleh beasiswa prestasi”Langkah1: Cari lingkupatau scope dari kuantor eksistensial, pada argument diatas menjadi “Ada x, yang x adalahpelajar, dan x memperoleh beasiswa prestasi”, sehingga ditulis menjadi
Langkah2: Berilahkuantor eksistensial di dari hasil yangdidapat pada langkah pertama menjadi
Langkah3: ubah menjadisuatu fungsi, menjadi
6.3 Transformasi Pernyataan Kedalam FormulaFirst-Order
Langkah-langkahmen-transformasi penyataan kedalam formula First-Order adalah sebagai berikut:
1. Buat penafsiran mengenaipernyataan tersebut
2. Tentukan dan deklarasikanpredikat-predikat yang digunakan
3. Tentukan quantifier yangdiperlukan
Hal yang perludiperhatikan adalah penafsiran atau cara pandang kita dalam menafsirkanpernyataan tersebut. Penafsiran yang berbeda akan menghasilkan formula yang berbeda. Kadang dalammentransformasikan sebuah pernyataan kedalam formula first-order diperlukanquantifier lebih dari satu.
Contoh:
1. Tentukan nilai dari Plus(Plus(3,2), Plus (2,1)).
Jawab:
PLUS (PLUS (3,2), PLUS (2,1))
= PLUS (5, PLUS (2,1))
=PLUS (5,3)
=8
2. Tuliskan pernyataan berikutkedalam bentuk formula
a. Setiap bilangan Rasional adalahbilangan Real
b. Ada bilangan yang merupakan bilangan prima
c. Untuk setiap bilangan x, ada bilangan y dimana x < y
Jawab:
Langkahpertama definisikan dulu predikat-predikat
P(x) : x adalah bilangan prima
Q(x) : x adalah bilangan rasional
R(x) : x adalah bilangan real
KECIL(x) :x lebih kecil dari y
a. (x) (Q(x) R(x))
b. (x) P(x)
c. (x) (y) KECIL (x,y)
3. Ubahlah pernyataan “Tidak ada orang tua menginginkan anaknyajadi penjahat” kedalam bentuk formula first-order.
Jawab:
Kalimattersebut ekuivalen dengan:
“Jika x adalah orang tua, maka x tidakingin anaknya jadi penjahat”
Predikatyang digunakan:
P(x) : xadalah orang tua
Q(x) :xingin anaknya jadi penjahat (gunakan operator Negasi)
FormulaFirst-Order: (x) (P(x) Q(x))
4. Tuliskan dalam bentuk formulapernyataan berikut “x lebih besar dari y”
Jawab:
Interpretasi ke-1:Jika ditafsirkan bahwa “untuk setiap xada y yang lebih kecil” maka kita bisa menyatakan x > y, makaPredikatnya: BESAR(x,y) maka formulanya menjadi: (x) ((y) BESAR(x,y)
Interpretasi ke-2: Jikaditafsirkan “untuk sembarang x dan y,jika x lebih besar dari y, maka tidak benar pernyataan y lebih besar dari x”maka formulanya menjadi: (x) (y) (BESAR(x,y) BESAR(y,x))
6.4 Pembuktian pada Logika First-Order
Pembuktian LogikaFirst-Order hampir sama dengan pembuktan pada Logika Proposisi. Hanya saja padaLogika First-Order pembuktian menggunakan Aturan Inferensi lebih mungkin untukdilakukan.
Contoh:
Buktikan bahwa “Setiap manusia pasti mati. Sayuti adalahmanusia, Karenanya Sayuti pasti mati.”
Jawab:
Misal dideklarasikanpredikat berikut:
MAN(x) :x adalah manusia
MORTAL(x) :x pasti mati
Maka pernyataan padasoal menjadi:
P1 :(x) (MAN(x) MORTAL(x))
P2 :MAN(Sayuti)
Untuk membuktikanbahwa kesimpulan “Sayuti pasti mati”harus dibuktian bahwa MORTAL(Sayuti) adalah konsekuensi logis dari P1dan P2. Maka;
Dilakukan pembuktianlangsung:
P1P2 : (x) (MAN(x) MORTAL(x)) MAN(Sayuti)
Karena (MAN(x) MORTAL(x))bernilai Benar untuk semua x maka;
(MAN(Sayuti) MORTAL(Sayuti))juga Benar
(x) (MAN(x)MORTAL(x))
MAN(Sayuti)
(MAN(Sayuti)MORTAL(Sayuti))
MORTAL(Sayuti)
Premis P1
Premis P2
Langkah 1 dan 2
P1: x Sayuti
Persoalan Logika First-Order dalam AI
Logika First-Order digunakan dalam ilmu IntelejensiBuatan sebagai Representasi Pengetahuan. Persolan yang ada memiliki pernyataanlebih kompleks lagi tapi dapat diselesaikan dengan Pelacakan Terbalik(Backward)
Contoh:
Diberikanpernyataan sebagai berikut:
1. Andi adalah seorang mahasiswa
2. Andi masuk jurusan Informatika
3. Setiap mahasiswa Informatikapasti mahasiswa Teknik
4. Kalkulus adalah matakuliah yangsulit
5. Setiap mahasiswa teknik pastiakan suka kalkulus atau akan membencinya
6. Setiap mahasiswa pasti akansuka terhadap suatu matakuliah
7. Mahasiswa yang tidak pernahhadir pada kuliah matakuliah sulit, maka mereka pasti tidak suka terhadapmatakuliah tersebut
8. Andi tidak pernah hadir kuliahmatakuliah kalkulus.
Buktikan Apakah Andi suka matakuliah kalkulus?
Jawab:
Ubah pernyataan menjadi bentuk formula:
1. Mahasiswa(Andi)
2. Informatika(Andi)
3. x: Informatika(x)Teknik(x)
4. sulit(kalkulus)
5. x: Teknik(x)suka(x, kalkulus) benci(x, kalkulus)
6. x: y: suka(x,y)
7. x: y: mahasiswa(x)sulit(y)hadir(x,y) suka(x,y)
8. hadir(Andi,kalkulus)
Pernyataan Apakah Andi suka matakuliah kalkulus = suka(Andi,kalkulus)
ARGUMEN PADA LOGIKA PREDIKAT
Validitas sebuah argumen dapat dibuktikan dengan contoh yang mirip dengan contoh 1. perhatikan contoh argumen berikut:
Contoh 2:
1. Semua mahasiswa pasti pandai
2. Badu seorang mahasiswa
3. Dengan demikian, Badu pandai
Secara nalar, kebanyakkan orang akan menilai bahwa argumen di atas mempunyai validitas yang kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingin dibuktikan dengan logika proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan. Pembuktiannya dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur logika proposisional dengan menentukan terlebih dahulu proposisi-proposisinya :
A = Semua mahasiswa pasti pandai
B = Badu seorang mahasiswa
C = Badu pasti pandai
Selanjutnya akan menjadi seperti berikut :
A
B
_____
:. C
Dalam ekspresi logika : (A ˄ B)=>C
Dalam bentuk ekspresi logika diatas, tidak ada hukum-hukum logika proposisional yang dapat digunakan untuk membuktikan validitas argumen tersebut karena tidak ada yang mampu menghubungkan antara ketiga proposisi yang digunakan diatas. Atau tidak mungkin suatu kesimpulan yang berbeda dapat dihasilkan dari premis-premis yang berbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan berupa C dapat dihasilkan dari premis A dan premis B.
Jika argumen diatas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional, maka kalimatnya harus diperbaiki. Misal seperti berikut:
Contoh 3:
1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai
2. Badu seorang mahasiswa
3. Dengan demikian, ia pasti pandai
Jika diubah dalam bentuk ekspresi logika :
1. B=>C premis 1
2. B premis 2
3. C kesimpulan
Atau dapat juga ditulis : [(B=>C) ˄ B] => C
Dalam logika proposisional, ekspresi logika diatas sudah benar karena kesimpulan diambil dari premispremis. Persoalan yang terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya mampu menangkap ide pada argumen yang pertama yaitu “Semua mahasiswa pandai”. Ide pada pernyataan tersebut tidak tertangkap pada argumen kedua karena hanya mampu menunjuk seorang mahasiswa yaitu Badu, bukan semua mahasiswa. Persoalan lain juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek. Misalnya orang yang dimaksudkan jika diganti dengan kata ganti orang. Perhatikan pernyataan-pernyataan pada contoh argumen berikut:
Contoh 4:
1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai
2. Dewi seorang mahasiswa
3. Dengan demikian, ia pasti pandai
Tidak ada komentar:
Posting Komentar